Protocol per a sistemes educatius adaptatius bayesians

1. Finalitat del protocol

Aquest document serveix com a guia per crear aplicacions, activitats o qüestionaris educatius adaptatius basats en inferència bayesiana i entropia de Shannon.

L'objectiu no és crear un test lineal ni una seqüència rígida de preguntes, sinó un sistema capaç d'adaptar l'experiència de l'alumne a partir de les respostes. Cada resposta s'interpreta com una evidència que modifica progressivament una distribució de probabilitats sobre diferents hipòtesis educatives.

Aquestes hipòtesis poden referir-se a:

• nivell de domini conceptual;
• errors probables;
• idees prèvies;
• llacunes concretes;
• necessitats de reforç;
• preparació per avançar a un nivell superior.

El sistema produeix una interpretació pedagògica, no només una puntuació.

2. Principi general

El sistema utilitza les respostes de l'alumne com a evidències per actualitzar hipòtesis sobre la seva situació d'aprenentatge.

Cada resposta modifica l'estimació del sistema de manera gradual. Una sola resposta no determina del tot el resultat.

Una resposta correcta augmenta la plausibilitat de certes hipòtesis i una resposta incorrecta augmenta la plausibilitat d'altres, sempre segons les versemblances associades a cada pregunta.

El sistema evita conclusions contundents quan la incertesa segueix sent alta.

2.1. Dimensió epistemològica del diagnòstic

El sistema no observa directament el coneixement de l'alumne. Només observa senyals avaluables —respostes, temps, eleccions, ajudes usades o altres interaccions— i les interpreta com a evidències parcials sobre diferents hipòtesis educatives. Convé precisar l'abast actual: la maquinària de versemblances d'aquesta versió modela l'encert/error, el crèdit parcial (\(s\)) i l'opció triada. Els temps de resposta i l'ús d'ajudes s'observen i poden informar el resultat, però no tenen versemblança definida i queden com a extensions fora de l'abast actual —l'excepció és l'efecte de les pistes ofertes dins d'un ítem, que sí que es tracta al §15—.

Per això una resposta aïllada no demostra que una hipòtesi sigui certa ni falsa. La resposta modifica la plausibilitat de cada hipòtesi segons com de bé aquesta evidència hi encaixa. El diagnòstic resultant és una creença revisada per l'evidència disponible, no una etiqueta definitiva sobre l'alumne.

Aquesta lectura és important des del punt de vista pedagògic: el recurs ha de fer visible què sap, què dubta i amb quin grau de seguretat. Quan diverses hipòtesis segueixen sent plausibles, el sistema ha de conservar aquesta incertesa i, si escau, triar una nova pregunta que ajudi a distingir-les.

En aquest sentit, una bona pregunta no és simplement la més difícil ni la que l'alumne té més probabilitat d'encertar, sinó la que aporta la millor evidència per decidir entre interpretacions encara obertes. La selecció adaptativa per guany esperat d'informació tradueix aquesta idea a una regla operativa.

La conseqüència pràctica és que el resultat final s'ha d'explicar com una inferència basada en evidències: quina hipòtesi queda més recolzada, quina incertesa persisteix, quines respostes han estat més rellevants i quina intervenció pedagògica se'n deriva.

3. Representació de l'estat de l'alumne

L'estat de l'alumne es representa com a distribució de probabilitats sobre diverses hipòtesis.

Per exemple, en un sistema senzill es podrien fer servir tres hipòtesis:

• nivell bàsic;
• nivell mitjà;
• nivell avançat.

El sistema, però, no assumeix obligatòriament tres nivells. Es pot adaptar a més o menys nivells, segons el context educatiu.

També es poden fer servir hipòtesis no estrictament jeràrquiques, per exemple:

• comprèn el concepte;
• confon dues idees properes;
• aplica una regla de forma mecànica;
• té una llacuna prèvia;
• necessita reforçament procedimental;
• pot passar a una tasca d'ampliació.

A l'inici, si no hi ha informació prèvia de l'alumne, el sistema pot partir de probabilitats equilibrades. Si hi ha informació prèvia fiable, podeu utilitzar una distribució inicial justificada.

3.1. Estat multidimensional

L'estat de l'alumne no ha de ser una sola distribució. Quan interessa saber no tan sols quant domina, sinó quines habilitats o passos concrets falla, el sistema pot mantenir diverses distribucions de probabilitat en paral·lel: una per categoria o nivell i una altra per cada dimensió diagnòstica (una habilitat, un pas del procés, un tipus d'error).

Cada distribució s'ha d'actualitzar amb l'evidència que li correspon: el resultat global pot modificar la creença sobre el nivell, i cada part avaluada de la resposta modifica la creença sobre la seva dimensió. Si una mateixa resposta global depèn de diverses habilitats, no convé fer servir aquest únic encert o error per actualitzar totes les dimensions independents, perquè es duplicaria l'evidència i s'atribuiria malament la causa de l'error. Així, l'estimació de nivell indica què cal practicar, i el diagnòstic per dimensió indica què convé explicar o reforçar. Cada dimensió pot tenir la seva pròpia probabilitat d'encert per atzar, per la qual cosa els percentatges no són directament comparables entre dimensions. En dimensions ordinals, la referència comuna pot ser el valor de nivell subjacent; en factors nominals d'error no hi ha una \(\theta\) comuna, sinó probabilitats marginals i estats com «present», «absent» o «indeterminat».

La decisió entre utilitzar dimensions independents o perfils complets no es trasllada al docent com una decisió tècnica. La pren la IA a partir de la descripció pedagògica: si cada error es manifesta i s'interpreta per separat, utilitza factors independents; si la resposta esperada canvia per combinacions d'errors, si un error n'emmascara un altre o si la intervenció depèn de la combinació, utilitza perfils complets. Quan \(2^k\) perfils sigui inviable, agrupa errors relacionats o diagnostica per fases.

Cada tipus té un exemple publicat que l'il·lustra:

• A · Ordinal unifactorial: test adaptatiu de cultura general — un nivell global amb nivells ordenats i IRT.
• A aplicat per etapes: itinerari per aïllar la x — el mateix model ordinal dins d'un itinerari: estimació local per etapa a més de la global, i promoció d'etapa decidida amb l'evidència generada dins d'aquesta.
• B · Ordinal multidimensional: pràctica de combinatòria — una distribució ordinal per tipus de problema i una altra per habilitat transversal, totes actualitzades en paral·lel.
• C · Nominal unifactorial: models mentals sobre calor i temperatura — concepcions excloents amb versemblances explícites per opció.
• D · Nominal multifactorial: errors en comparar decimals — errors que poden coexistir, amb una probabilitat independent per factor.
• Combinat (A + D): accentuació a l'ESO — nivell global i diagnòstic d'errors coexistents amb estimacions paral·leles coordinades.

4. Actualització bayesiana

El sistema actualitza la distribució de probabilitats mitjançant inferència bayesiana.

Per a cada hipòtesi, s'estima la probabilitat d'observar la resposta de l'alumne si aquesta hipòtesi fos certa.

Aquesta probabilitat és la versemblança.

Si l'alumne encerta una pregunta, el sistema fa servir la probabilitat d'encert sota cada hipòtesi. Si l'alumne falla, fa servir la probabilitat de fallada sota cada hipòtesi.

El resultat de cada actualització és una nova distribució de probabilitats sobre les hipòtesis considerades.

El procés es repeteix després de cada resposta.

5. Fórmules bàsiques del model

Tot i que el document manté un llenguatge comprensible per a docents, inclou les fórmules essencials perquè el sistema s'implementi de manera coherent. El desenvolupament formal, les derivacions i els exemples numèrics són als Fonaments matemàtics, que en són la referència canònica; aquí es recullen en la seva forma mínima.

5.1. Distribució inicial d'hipòtesis

Si hi ha \(n\) hipòtesis i no hi ha informació prèvia fiable, es pot fer servir una distribució uniforme:

On \(H_i\) representa una possible hipòtesi sobre l'estat de l'alumne.

El prior uniforme és adequat per a hipòtesis de nivell, però no per a factors d'error binaris: un uniforme sobre les combinacions de \(k\) factors (o sobre «present/absent» en cadascun) equival a afirmar que cada error té una probabilitat a priori del 50 % d'estar present. Això no és neutre —és una afirmació forta sobre la seva prevalença— i esbiaixa les primeres preguntes cap al fals positiu (errors que l'alumne no té mostrats com a probables). Com que els errors conceptuals solen ser minoritaris, convé partir d'un prior informatiu moderat (per exemple, \(P(\text{error})\approx 0{,}2\)–\(0{,}3\)); el recurs l'aplica per defecte de manera automàtica i el docent pot ajustar la prevalença del seu grup si ho vol, però no hi està obligat.

5.2. Actualització bayesiana

Després de cada resposta, la probabilitat de cada hipòtesi s'actualitza mitjançant:

El denominador es calcula sumant sobre totes les hipòtesis:

On \(R\) és la resposta observada, que pot ser encert, fallada o un altre resultat autocorregible previst pel sistema. La derivació completa és als Fonaments §3.

5.3. Versemblança d'encert i fallada

Per a cada pregunta \(q\) i cada hipòtesi \(H_i\), el sistema estima:

Si l'alumne falla, s'utilitza:

Aquestes probabilitats són les versemblances que alimenten l'actualització bayesiana.

5.4. Probabilitat mínima d'encert per atzar

En preguntes d'opció múltiple, la probabilitat mínima d'encert per atzar depèn del nombre d'opcions de cada pregunta:

On \(c_q\) és la probabilitat d'encert per atzar de la pregunta \(q\), i \(m_q\) és el nombre d'opcions d'aquesta pregunta.

Per exemple, una pregunta de quatre opcions té:

Aquesta probabilitat pertany a cada pregunta, no pas al test complet.

5.5. Generació logística de versemblances

El sistema pot generar les versemblances automàticament. Una opció recomanable és fer servir una funció logística ajustada per atzar:

On:

• \(\theta_i\) representa numèricament la hipòtesi o nivell \(H_i\);
• \(b_q\) representa la dificultat de la pregunta \(q\);
• \(a\) controla la sensibilitat o discriminació;
• \(c_q\) és la probabilitat mínima d'encert per atzar.

Aquesta fórmula no substitueix Bayes. Només genera les versemblances que Bayes necessita.

El paràmetre \(a\) controla el pendent de la corba logística. Un valor alt fa que la funció discrimini més entre hipòtesis properes; un valor baix produeix transicions més suaus. Els valors habituals en psicometria oscil·len entre 0,5 i 2,5. Per a sistemes educatius de propòsit general, valors d'1.0 a 1.5 són punts de partida raonables; en aquesta metodologia es fixa per defecte la discriminació efectiva \(a_{\text{ef}}=1.25\) i es deriva \(a\) segons el sòl d'atzar de cada ítem.

Ara bé, quant separa la corba entre nivells no depèn només de \(a\), sinó del producte \(a\,(1-c_q)\): el sòl d'atzar «aplana» la part alta de la corba. Per això convé fixar una discriminació efectiva objectiu \(a_{\text{ef}}\) (per defecte 1.25, triat perquè la \(a\) derivada no superi 2.5 ni tan sols en vertader/fals, on \(c_q = 0.5\)) i calcular \(a\) en cada pregunta com \(a = a_{\text{ef}} / (1 - c_q)\). Això no és només per a proves que barregen formats: convé aplicar-ho sempre, perquè iguala el pendent màxim de la corba i evita que el format alteri mecànicament aquest pendent. No vol dir que tots els formats aportin la mateixa informació esperada: la selecció per guany d'informació continuarà preferint els ítems que discriminin millor en l'estat posterior actual. A la formulació matemàtica (§4.4) es detalla aquesta relació.

Convé precisar què iguala aquest invariant: el pendent màxim, no la força màxima de l'evidència d'una fallada. En el quocient de versemblances d'una fallada, el sòl d'atzar \(1-c_q\) es cancel·la i aquesta raó creix amb la discriminació nominal \(a = a_{\text{ef}}/(1-c_q)\), no amb \(a_{\text{ef}}\). Per això una fallada en un ítem fàcil de vertader/fals (on \(a\) arriba a 2,5) aporta molta més evidència que la mateixa fallada en una pregunta oberta: amb \(\Delta\theta = 2\), la raó de versemblança de fallada entre nivells adjacents és ≈ 12 en oberta, ≈ 28 en 4 opcions i ≈ 148 en vertader/fals. Perquè una sola fallada no dispari el posterior de manera gairebé determinista, la metodologia aplica també en el cas ordinal un sostre de domini (\(P(\text{encert}) \le 0{,}90\text{–}0{,}95\), mai 1), el mateix que el cas nominal ja imposa; a més d'acotar aquests salts, modela el descuit (slip) que el 3PL pur no preveu.

5.6. Entropia de Shannon

La incertesa del sistema es mesura mitjançant:

On \(p_i\) és la probabilitat actual de cada hipòtesi.

L'entropia màxima, quan totes les hipòtesis són igual de probables, és:

Aquest valor ajuda a ajustar el llindar de parada al nombre d'hipòtesis considerades. Vegeu Fonaments §5.

5.7. Guany esperat d'informació

Per seleccionar la pregunta següent, el sistema pot estimar la reducció esperada d'incertesa:

On \(P(A)\) és la probabilitat total esperada d'encert i \(P(F)\) la probabilitat total esperada de fallada, calculades mitjançant la llei de la probabilitat total:

Les distribucions posteriors a l'encert i a la fallada es calculen aplicant Bayes (§5.2) abans d'obtenir la resposta real, i amb elles les entropies esperades de cada escenari. Quan sigui possible, la pregunta més útil serà la que produeixi una reducció més gran esperada d'entropia. El desenvolupament complet, amb la formulació com a informació mútua, és als Fonaments §6.

5.8. Versemblança amb crèdit parcial

Les fórmules anteriors suposen que la resposta és binària: encert o error. Però moltes tasques es resolen per passos o components i admeten encerts parcials. En aquests casos, en lloc de classificar la resposta com a encert o fallada, es resumeix en una puntuació \(s\) entre 0 i 1. Si només es disposa d'aquesta puntuació agregada, la versemblança coherent és la geomètrica: pondera la probabilitat d'encert i la de fallada amb exponents \(s\) i \(1-s\), de manera que l'evidència afavoreix la hipòtesi la probabilitat d'encert prevista de la qual s'acosta més a \(s\). Amb \(s=1\) equival a un encert ple i amb \(s=0\) a una fallada plena; un \(s=0.5\) no és neutre, afavoreix les hipòtesis intermèdies. No es fa servir la interpolació lineal, que empenyeria sempre cap a una hipòtesi extrema. Quan es coneixen els components concrets de la resposta, és preferible multiplicar-ne les versemblances per separat en comptes de reduir-ho tot a una sola puntuació. La fórmula, el desenvolupament formal i un exemple numèric són als Fonaments §4.8.

6. Versemblances generades pel sistema

Les versemblances són l'element central del sistema.

Per a cada pregunta, el sistema estima:

• quina probabilitat hauria d'encertar-la un alumne situat a cada hipòtesi;
• quina probabilitat tindria de fallar-la un alumne situat a cada hipòtesi.

El docent no necessita emplenar manualment una taula de probabilitats. Aquesta tasca la fa el sistema.

El docent aporta informació pedagògica comprensible, com ara:

• nombre de nivells o hipòtesis;
• dificultat relativa de cada pregunta;
• tipus de pregunta;
• nombre d'opcions, si escau;
• concepte avaluat;
• possible error conceptual associat.

Per això, la qualitat del resultat no depèn només de l'algorisme, sinó també de com estigui conformada aquesta informació de partida. Si les classificacions pedagògiques estan mal definides, si les dificultats no estan raonablement calibrades, si els errors conceptuals rellevants no estan ben identificats o si el banc ofereix poca cobertura dels casos importants, les versemblances generades poden representar malament la realitat i l'adaptació posterior pot sortir esbiaixada o poc fiable.

A partir d'aquesta informació, el programa genera automàticament les versemblances. Això es pot fer amb un model generador, preferiblement una funció logística ajustada per atzar, i més endavant es poden recalibrar els valors amb dades reals si es disposa de prou respostes.

Per tant, el flux recomanat és:

1. El docent dissenya o revisa les preguntes i els assigna dificultat i format.
2. El sistema calcula automàticament les probabilitats d'encert i error per a cada hipòtesi.
3. Bayes utilitza aquestes probabilitats com a versemblances.
4. Si s'acumulen dades reals, el sistema pot ajustar els paràmetres per millorar el calibratge.

El criteri docent intervé en la definició de nivells, dificultats, objectius i conceptes, però no exigeix introduir probabilitats numèriques.

7. Versemblances dinàmiques per pregunta

L'aplicació no depèn d'una taula fixa global de versemblances.

Cada pregunta pot tenir els seus paràmetres, especialment:

• dificultat estimada;
• tipus de pregunta;
• nombre d'opcions, si escau;
• probabilitat mínima d'encert per atzar;
• concepte o habilitat avaluada;
• possible error conceptual associat.

Això permet que el sistema funcioni amb preguntes de diferents tipus dins d'una mateixa prova.

Per exemple, una prova pot incloure preguntes de dues opcions, quatre opcions, cinc opcions, aparellament i resposta numèrica. Cadascuna genera les seves pròpies versemblances.

8. Dificultat de les preguntes

Cada pregunta té una dificultat estimada.

La dificultat es pot expressar de manera qualitativa, per exemple: fàcil, mitjana, difícil. També es pot expressar mitjançant una escala més flexible.

El sistema no assumeix que sempre hi haurà tres dificultats. S'adapta al nombre de categories que defineixi el docent.

Quan el docent defineix la dificultat de manera qualitativa, el sistema la converteix a valors numèrics repartint-los uniformement en la meitat central de l'escala de nivells: amb \(k\) categories, la més fàcil i la més difícil queden a \(\pm\theta_{\max}/2\) (amb \(\theta_{\max}=n-1\), on \(n\) és el nombre de nivells) i la resta a intervals iguals. La conversió depèn, doncs, del nombre de nivells a més del nombre de categories: una taula que depengués només del nombre de categories seria inconsistent quan hi ha pocs nivells i moltes categories (amb dos nivells, \(\theta=\pm 1\), assignaria dificultats de fins a \(\pm 2\), invertint la separació entre escales). Exemples: amb 3 nivells i 3 categories, \(b \in \{-1, 0, +1\}\); amb 3 nivells i 5 categories, \(b \in \{-1, -0{,}5, 0, +0{,}5, +1\}\); amb 4 nivells i 3 categories, \(b \in \{-1{,}5, 0, +1{,}5\}\). La fórmula exacta és als Fonaments §8.3.

En conseqüència, no n'hi ha prou que hi hagi moltes preguntes: convé que el banc estigui ben distribuït en els eixos pedagògicament rellevants del recurs, sobretot la dificultat, el tipus d'ítem i els continguts, habilitats o errors que es volen discriminar. Si una zona important queda infrarepresentada, el sistema pot semblar adaptatiu i, tanmateix, raonar sobre una base pobra.

Tampoc no n'hi ha prou amb el nombre total. Perquè la selecció adaptativa no es torni repetitiva, cal redundància local: en cada zona rellevant del banc convé disposar de diverses preguntes alternatives de dificultat i funció diagnòstica semblants. Si una categoria, nivell o tipus d'error només té un ítem útil, el sistema tendirà a repetir-lo encara que la regla de selecció sigui correcta.

Els valors \(\theta_i\) que representen els nivells són fixos i depenen només del nombre d'hipòtesis (centrats en zero, amb espaiat 2 i \(\theta_{\max}=n-1\)); les dificultats se situen dins d'aquesta escala, a la meitat central, i els valors atípics es retallen a ella. Així, el rang de \(\theta\) és estrictament més gran que el de \(b_q\) —cosa que evita que les preguntes extremes confirmin feblement els nivells extrems— i una pregunta atípica no estira l'escala ni distorsiona les versemblances de la resta del banc. El motiu (la «regla del factor 2») i la derivació completa són als Fonaments §8. Aquest marge creix amb \(n\): amb \(n \geq 3\) els ítems extrems confirmen amb folgança, però amb \(n = 2\) (domina / no domina) la confirmació és més feble (probabilitat ≈ 0,65–0,77 segons el format), per la qual cosa convé compensar amb més preguntes.

9. Nombre variable de nivells i hipòtesis

El sistema admet diferents nombres d'hipòtesis:

• dos estats: domina/no domina;
• tres nivells: bàsic / mitjà / avançat;
• quatre nivells: inicial / bàsic / competent / avançat;
• hipòtesis conceptuals alternatives dins d'una mateixa dimensió: error A / error B / comprensió correcta;
• hipòtesis per necessitats, sempre que siguin alternatives en la decisió que es modela: reforç previ / pràctica guiada / consolidació / ampliació (exemple fronterer: aquestes necessitats també es poden veure com a ordinals —graus de suport—; tracta-les com a no jeràrquiques només si el que importa és triar entre elles, i com a ordinals si el rellevant és l'ordre de necessitat).

El llindar d'entropia i els criteris de parada s'adapten al nombre d'hipòtesis considerades. No convé fer servir el mateix llindar per a tots els dissenys sense justificació.

Si es vol aturar quan la hipòtesi més probable supera un nivell de confiança \(p_{\min}\) (per exemple, 0,80), el llindar d'entropia associat s'obté suposant que la probabilitat restant es reparteix uniformement entre les altres \(n-1\) hipòtesis (fórmula i derivació als Fonaments §7). Alguns valors orientatius amb \(p_{\min}=0,80\):

La fórmula anterior suposa que la probabilitat restant es reparteix uniformement entre les altres \(n-1\) hipòtesis, cosa que no sempre passa en distribucions reals. Per exemple, amb tres hipòtesis, les distribucions (0,80, 0,10, 0,10) i (0,80, 0,19, 0,01) tenen la mateixa hipòtesi màxima però diferent entropia. Per tant, el llindar \(H_{\text{stop}}\) s'entén com una aproximació pràctica, no com un equivalent exacte. Convé saber que, quan \(H_{\text{stop}}\) es deriva del mateix \(p_{\min}\), la condició de probabilitat màxima ja implica la d'entropia (si la hipòtesi més probable assoleix \(p_{\min}\), l'entropia queda per sota del llindar): comprovar-les totes dues és inofensiu, però no afegeix exigència. El control que sí aporta alguna cosa diferent és exigir una separació mínima entre la hipòtesi guanyadora i la segona, \(P(H_{\text{guanyadora}}) - P(H_{\text{segona}}) \geq \Delta_{\min}\). Ara bé, aquesta separació només afegeix exigència si \(\Delta_{\min} > 2p_{\min} - 1\): amb \(p_{\min} = 0{,}80\), exigir \(\max_i P(H_i) \geq p_{\min}\) ja força una separació \(\geq 0{,}60\), de manera que un \(\Delta_{\min}\) de 0,3–0,4 també seria redundant. La seva utilitat real és com a alternativa a un \(p_{\min}\) alt: amb moltes hipòtesis, un màxim moderat més una separació de 0,3–0,4 és un criteri de confiança més natural que exigir \(\max_i P(H_i) \geq 0{,}80\) (vegeu l'explicació matemàtica, §7.4).

Les hipòtesis d'una mateixa distribució són excloents mútuament i cobreixen les alternatives rellevants per a aquesta decisió. Si diversos errors, llacunes o necessitats poden coexistir, convé fer servir distribucions separades per concepte, dimensió o categoria, en lloc de forçar-les dins d'una única llista d'hipòtesis.

Quan les hipòtesis no són jeràrquiques —categories alternatives sense relació d'ordre entre elles, com ara diferents estratègies, causes alternatives d'un mateix error o àrees temàtiques sense jerarquia—, la funció logística IRT pot no ser el model més adequat, perquè assumeix que hi ha una escala única de més o menys nivell. En aquests casos convé definir les versemblances d'una altra manera: per exemple, assignant directament una probabilitat d'encert alta per a les preguntes que diagnostiquen la hipòtesi correcta i una probabilitat més baixa per a les que la confonen amb altres hipòtesis. L'actualització bayesiana continua sent idèntica; només canvia la manera de generar les versemblances.

Si diversos errors o necessitats poden coexistir, però, no convé forçar-les dins d'una sola llista d'hipòtesis nominals. L'enfocament adequat és usar una dimensió per factor o, si cal captar-ne les interaccions, una distribució sobre perfils complets (les combinacions possibles d'aquests factors). En aquest marc, l'evidència ideal no és només «encert» o «error», sinó també quina opció ha triat l'alumne: un distractor pot ser precisament el senyal d'un error concret.

Per assignar aquestes probabilitats sense dades empíriques convé un criteri explícit. Per cada pregunta i cada hipòtesi, factor o perfil, estima: «si l'alumne tingués aquest error o aquesta combinació d'errors, amb quina freqüència encertaria aquesta pregunta i quin distractor triaria?». El valor serà baix quan la pregunta ataca just el concepte que l'error distorsiona, i alt quan l'error no interfereix. Acota cada valor entre un terra d'atzar (no menys d'\(1/m\), amb \(m\) opcions, quan el fall prové de respondre a l'atzar) i un sostre inferior a 1 per al domini (al voltant de 0,90–0,95, deixant marge a descuits). Hi ha una única excepció justificada al terra: si la pregunta és d'opció múltiple i un dels distractors és precisament la resposta que produeix l'error, l'alumne és atret cap a aquesta opció i la seva probabilitat d'encert cau per sota de l'atzar. No cal afinar el decimal exacte: n'hi ha prou que, en les preguntes que discriminen, els perfils correctes se separin clarament dels que l'error fa fallar. La formulació matemàtica (§10) detalla aquestes variants i la seva validació.

10. Tipus de preguntes admissibles

Com que el sistema funciona automàticament, utilitza preguntes autocorregibles.

Són adequats, entre d'altres, aquests formats:

• opció múltiple amb una resposta correcta;
• veritable/fals;
• selecció múltiple amb criteri clar de correcció;
• aparellament;
• ordenació;
• resposta numèrica amb tolerància;
• resposta breu exacta.

No convé incloure preguntes obertes llargues si el programa no les pot corregir automàticament de manera fiable.

Les preguntes obertes poden ser útils en una activitat educativa general, però no formen part del motor adaptatiu automàtic si no hi ha un mecanisme fiable de correcció o intervenció docent.

11. Probabilitat d'encert per atzar

En preguntes d'opció múltiple, la probabilitat mínima d'encert per atzar depèn del nombre d'opcions de cada pregunta. Aquesta probabilitat pertany a cada ítem, no pas al test complet.

Exemples:

• pregunta de 2 opcions: probabilitat mínima d'encert per atzar del 50%;
• pregunta de 3 opcions: probabilitat mínima d'encert per atzar del 33,3%;
• pregunta de 4 opcions: probabilitat mínima d'encert per atzar del 25%;
• pregunta de 5 opcions: probabilitat mínima d'encert per atzar del 20%.

Si dins d'una mateixa prova hi ha preguntes amb diferents opcions, cada pregunta usa la seva pròpia probabilitat mínima d'encert per atzar.

En la selecció múltiple amb diverses respostes correctes, la probabilitat d'encert per atzar pot ser diferent. El sistema tracta aquest cas de manera específica, especialment si s'exigeix coincidència exacta amb la combinació correcta.

En respostes numèriques amb tolerància o respostes breus exactes, la probabilitat d'encert per atzar es pot considerar nul·la o molt baixa, segons el disseny.

Quan un ítem es corregeix per diversos components amb diferents opcions —per exemple, una tasca amb diversos passos— i es puntua amb crèdit parcial, la mitjana ponderada dels atzars de cada component representa la puntuació parcial esperada per atzar, no la probabilitat d'encertar l'ítem complet. Aquest valor pot alimentar la funció logística si la corba s'interpreta com a puntuació esperada de l'ítem compost. Si l'ítem es corregeix com a tot-o-res, la probabilitat d'encert ple per atzar és el producte dels atzars dels components independents.

12. Ús d'una funció logística

Quan escaigui, les versemblances poden generar-se mitjançant una funció logística ajustada per atzar.

La idea general és que la probabilitat d'encert augmenta quan el nivell hipotètic de l'alumne supera la dificultat de la pregunta, i disminueix quan la dificultat supera el nivell hipotètic de l'alumne.

Si es fa servir aquest model, es respecten dues condicions importants: la probabilitat d'encert no és inferior a la probabilitat d'encert per atzar pròpia de la pregunta, i tampoc no supera el sostre de domini (\(\le 0{,}90\)–\(0{,}95\), mai 1) descrit al §5.5, que modela el descuit i evita salts gairebé deterministes del posterior davant d'una fallada.

Per tant, una pregunta de quatre opcions no assigna una probabilitat d'encert inferior al 25%, perquè un alumne que respon a l'atzar té aquesta probabilitat d'encertar-la.

La funció logística no substitueix Bayes. Només serveix per generar les versemblances que Bayes necessita.

El sistema permet que aquesta generació sigui ajustable. Per exemple, hi pot haver un paràmetre de sensibilitat o discriminació que determini quant separa una pregunta entre unes hipòtesis i altres.

13. Selecció adaptativa de la següent pregunta o activitat

A partir de l'estimació actual, el programa selecciona dinàmicament la pregunta, explicació o activitat següent.

La selecció cerca utilitat pedagògica i pot servir per a:

• confirmar una hipòtesi probable;
• distingir entre hipòtesis properes;
• detectar un error conceptual;
• comprovar una llacuna concreta;
• reforçar una dificultat;
• cobrir un contingut encara no avaluat;
• permetre que l'alumne demostri un nivell superior;
• decidir si convé passar a ampliació o a reforç.

El sistema no es limita a pujar la dificultat després d'un encert i baixar-la després d'una errada.

Té en compte: historial de respostes, conceptes ja avaluats, errors detectats, varietat de continguts, dificultat relativa de les preguntes, tipus de pregunta, nombre d'opcions de cada pregunta, probabilitat d'encert per atzar, i grau de seguretat de l'estimació actual.

Quan diverses preguntes tenen el mateix guany d'informació esperada —allò que passa sovint quan comparteixen els mateixos paràmetres de dificultat i nombre d'opcions—, la selecció entre elles no és determinista. Es recomana una selecció aleatòria ponderada: calcular el guany de totes les candidates, reunir les que estan dins un marge mínim del màxim, i triar entre elles amb una probabilitat proporcional a l'invers de les vegades que la seva categoria o concepte ja ha aparegut. Això combina màxima utilitat informativa amb diversitat temàtica, sense imposar restriccions rígides. Una selecció determinista entre empats produeix tests sistemàticament repetitius entre diferents sessions.

13.1. Diagnòstic inicial i reforç posterior

En recursos de pràctica adaptativa, reforç o entrenament per tipus, la selecció no persegueix sempre el mateix objectiu. Al principi convé diagnosticar; després convé intervenir sobre el menys dominat.

Es recomana una estratègia en dues fases:

1. Fase diagnòstica inicial. Mentre hi hagi categories, conceptes o tipus de problema amb menys d'una mostra mínima d'intents, el sistema els prioritza. L'objectiu és evitar les conclusions basades en una mostra massa petita. Dins d'aquestes categories, es pot triar la pregunta amb més guany esperat d'informació. Un valor per defecte raonable és exigir com a mínim 2 intents per categoria. Amb moltes categories, aquesta fase pot consumir la sessió sencera (per exemple, 10 categories amb 2 intents ja són 20 preguntes): convé agrupar categories afins en blocs o reduir la mostra mínima perquè el diagnòstic inicial no superi el màxim pràctic.
2. Fase de reforç. Quan totes les categories rellevants tinguin una mostra mínima, el sistema prioritza la categoria amb menor domini estimat o més necessitat pedagògica. Un cop triada la categoria, la pregunta concreta no és necessàriament la més difícil. Convé combinar el guany esperat d'informació amb una mesura d'adequació de dificultat, de manera que el sistema prefereixi exercicis informatius però propers al nivell estimat de l'alumne.

Aquesta separació evita un ús excessiu de l'entropia de Shannon. L'entropia respon a la pregunta “on tinc més incertesa?” però no sempre respon a “què necessita practicar més l'alumne?”. En avaluació diagnòstica pura, maximitzar la reducció d'incertesa pot ser el criteri principal. En pràctica adaptativa i reforç, es combina amb una funció d'utilitat pedagògica que prioritzi els continguts menys dominats.

En termes operatius, la fase de reforç pot fer servir una puntuació d'utilitat com:

utilitat = α · IG_normalitzada + (1 − α) · ajust_de_dificultat

on ajust_de_dificultat disminueix quan la dificultat de la pregunta s'allunya molt del nivell estimat de l'alumne. Un valor inicial raonable és α = 0.6 o 0.7, per conservar valor diagnòstic sense convertir el reforç en una successió d'exercicis massa difícils.

Perquè el pes α signifiqui alguna cosa, els dos sumands han d'estar en la mateixa escala [0, 1]: IG_normalitzada = IG(q) / IG_màx entre les candidates del moment, i ajust_de_dificultat = màx(0, 1 − |b_q − E[θ]| / 2), que val 1 quan la dificultat coincideix amb el nivell estimat (E[θ] = Σ p_i·θ_i) i 0 quan s'allunya un interval complet de nivell.

13.2. Reforç continu i cautela amb poca evidència

Els criteris de parada (secció 17) suposen que l'objectiu és diagnosticar i tancar. En recursos de pràctica o reforç obert, en canvi, pot no haver-hi un final fix: la sessió continua mentre l'alumne practica, i l'estat estimat s'entén com una estimació viva, no com un diagnòstic tancat. Així, l'entropia i la confiança serveixen per informar del grau de seguretat, no per acabar la sessió, i la selecció en dues fases es manté durant tota la pràctica.

Amb pocs intents, una sola resposta pot desplaçar molt l'estimació. Per no comunicar un domini infundat, cal exigir una mostra mínima per categoria o dimensió abans de mostrar nivells alts de domini, i presentar l'estimació com a provisional mentre l'evidència sigui escassa. És una decisió de presentació: no canvia el càlcul bayesià, només com es tradueix a la interfície.

En sessions de pràctica llargues hi ha un matís més: l'alumne aprèn mentre practica, i l'actualització bayesiana pura dona el mateix pes a les respostes antigues que a les recents, de manera que l'estimació pot quedar-se ancorada en un estat que l'alumne ja ha superat. Perquè l'estimació segueixi el seu estat actual convé aplicar un oblit gradual de l'evidència antiga (oblit exponencial): les respostes recents pesen més que les antigues i el sistema recorda, a la pràctica, les últimes 10–20 respostes. En recursos diagnòstics de sessió curta no s'aplica aquest oblit. El mecanisme, els seus valors recomanats i l'extensió que modela explícitament l'aprenentatge són a l'explicació matemàtica (§3.5).

L'oblit ha d'atenuar l'estimació cap al prior, no cap a la uniforme: altrament, qualsevol prior informatiu es degrada només amb el pas de la sessió. El cas més danyós és el dels factors d'error: amb prior \(P(\text{error}) \approx 0{,}25\), un factor que passi un temps sense rebre evidència deriva cap al 50 % i reapareix com a «indeterminat» o «probable» sense que l'alumne hagi fet res, reintroduint el fals positiu que el prior informatiu evita (§5.1). Ancorat al prior, l'oblit descarta l'evidència antiga però les distribucions sense evidència nova romanen en el seu prior. A més, amb oblit actiu la mostra mínima per categoria s'ha de comptar sobre una finestra recent, no sobre tota la sessió: l'evidència caduca, però un comptador acumulat no. Aquest comptador amb caducitat governa les portes de domini, no allò que es mostra a l'alumne: si la interfície ensenya quants exercicis ha resolt, aquest nombre és el total real; i una categoria que es queda sense evidència recent ha tornat al seu prior, de manera que convé presentar-la com a sense dades recents i no com una debilitat.

Un matís de calibratge quan hi ha diverses distribucions en paral·lel: en atenuar-les totes en cada resposta, cadascuna envelleix un cop per resposta però només rep evidència quan la pregunta li correspon. Un mateix \(\lambda\) per a totes castiga les que s'actualitzen amb menys freqüència: amb sis categories, el \(\lambda=0{,}95\) pensat per a una memòria de vint respostes deixa a cada categoria una memòria de poc més de tres intents propis, prou per esborrar el diagnòstic inicial. Per això la memòria es fixa en intents de la mateixa distribució i el \(\lambda\) es deriva d'aquí per a cadascuna. La formulació exacta és a l'explicació matemàtica (§3.5).

13.3. Itineraris per etapes

Quan el recurs organitza l'aprenentatge en fases o etapes successives —per exemple, un itinerari que primer treballa una tècnica i després una altra—, convé distingir entre l'estimació global de l'alumne i una estimació local pròpia de cada etapa. La creença acumulada en etapes anteriors no hauria de ser suficient per si sola per decidir si l'alumne supera l'etapa actual: aquesta decisió convé prendre-la amb l'evidència generada dins de la pròpia etapa.

Per donar una etapa per superada convé exigir, conjuntament, dos tipus de condició. La primera és la confiança local: que la hipòtesi local més probable superi un \(p_{\min}\) (per exemple, 0,80) i que l'entropia local caigui per sota de l'\(H_{\text{stop}}\) corresponent. Com ja s'explica al §9 i al §17, quan \(H_{\text{stop}}\) es deriva del mateix \(p_{\min}\), la condició de confiança ja implica la d'entropia; comprovar totes dues aquí és igual d'inofensiu que allà, però no afegeix cap exigència addicional. La condició que sí aporta alguna cosa diferent és la segona: un mínim explícit de rendiment observat en aquesta etapa. Sense aquest mínim, una estimació bayesiana molt segura —per exemple, si les preguntes de l'etapa estan mal calibrades— podria donar l'etapa per superada amb pocs encerts reals; per això convé exigir-lo a part, no com a substitut de la confiança local sinó com a control addicional. Ara bé, aquest rendiment no es pot mesurar amb el percentatge brut d'encerts si dins de l'etapa se seleccionen les preguntes per màxima informació: en aquest cas la taxa d'encert de tots els alumnes tendeix per disseny cap a \((1+c)/2\) —al voltant del 50-62 % segons el format—, de manera que un llindar fix com «60 % d'encerts» pot bloquejar alumnes que dominen l'etapa i el seu efecte depèn del format de les preguntes. Perquè el criteri sigui informatiu convé mesurar-lo sobre evidència no seleccionada per màxima informació: per exemple, exigir l'encert d'un o dos ítems «de sortida» de dificultat representativa triats sense criteri informatiu, o comprovar que la taxa observada no queda gaire per sota de l'esperada sota la hipòtesi de domini local (el mateix ajust de persona de Fonaments §11.7 aplicat com a criteri d'etapa). Dos matisos operatius: el format dels ítems de sortida importa —convé evitar vertader/fals, on un sol ítem deixa passar per atzar la majoria dels qui no dominen (\(P(\text{encert} \mid \text{no domini}) \approx 0{,}6\)), mentre que exigir 2 de 2 en format obert bloqueja ≈ 1 de cada 4 alumnes que sí que dominen; el filtre complementa la confiança local, no decideix en solitari—. I amb els pocs ítems d'una etapa l'aproximació normal de l'ajust de persona és feble: convé comparar encerts observats davant d'esperats amb un marge de ~1 desviació típica (o un test binomial exacte) i tractar-ho com a senyal orientatiu, no com a bloqueig dur. Tot això ho aplica el mateix recurs de manera automàtica, a partir de les dificultats que ja coneix: no requereix que el docent conegui la metodologia ni configuri res, llevat que ho vulgui fer.

Si l'alumne repeteix una etapa, convé reiniciar l'estimació local d'aquesta etapa en lloc d'arrossegar l'estat anterior, tret que hi hagi una justificació pedagògica explícita en contra. Acabar una etapa tampoc implica necessàriament haver-la superada: el sistema pot proposar recórrer-la de nou o reforçar-la abans d'avançar.

L'exemple itinerari per aïllar la x, esmentat al §3.1, aplica aquest patró: manté una estimació local per etapa a més de la global, i decideix la promoció d'etapa amb l'evidència generada dins d'aquesta.

14. Reducció esperada d'incertesa

Quan és possible, el sistema selecciona la pregunta que més redueix la incertesa esperada.

Per això estima, abans de presentar la pregunta:

• què passaria si l'alumne encerta;
• què passaria si l'alumne falla;
• com canviaria la distribució de probabilitats en cada cas;
• quina entropia tindria cada distribució posterior;
• quina seria la incertesa esperada després de formular aquesta pregunta.

Si l'estat es representa amb diverses distribucions paral·leles (factors d'error o dimensions diagnòstiques), el guany es calcula primer per distribució i després s'agrupa en blocs pedagògics —per exemple, nivell global, errors, categories o etapes—. Dins d'un bloc es poden sumar els guanys de les seves distribucions, perquè en la representació factoritzada l'entropia conjunta és la suma d'entropies. Per combinar blocs, convé normalitzar el guany de cada bloc entre les candidates disponibles i aplicar pesos automàtics inferits de la finalitat. Valors per defecte: si la finalitat se centra en un bloc, pes 0,7 per a aquell bloc i 0,3 repartit entre els altres; si és mixta, pesos iguals per bloc, no pel nombre brut de dimensions. Un bloc es considera decidit quan assoleix el seu criteri de confiança (el de nivell, en superar \(p_{\min}\) amb el mínim de preguntes; el d'errors, quan tots els seus factors surten de la zona indeterminada amb la seva mostra mínima); el seu pes es reparteix llavors proporcionalment entre els blocs encara incerts. Aquests pesos no es demanen al docent; els decideix la IA a partir de la intenció educativa expressada. Dues cauteles: la utilitat combinada no està en bits —la normalització reescala el millor candidat de cada bloc a 1 encara que els seus guanys siguin minúsculs—, així que el criteri d'aturada per guany mínim s'ha d'avaluar sobre el guany cru total, mai sobre la utilitat normalitzada; i un bloc gairebé exhaurit pot quedar sobrerepresentat just abans de quedar decidit: si això resulta visible, es ponderen els guanys crus (mitjana per dimensió) o es normalitza per l'entropia restant del bloc.

La millor pregunta no és necessàriament la que coincideix amb el nivell més probable. Pot ser una pregunta que ajudi a distingir entre dues hipòtesis encara plausibles.

Per exemple, si el sistema dubta entre nivell mitjà i avançat, una pregunta difícil pot ser més útil que una pregunta mitjana. Si dubta entre bàsic i mitjà, una pregunta mitjana o fàcil pot ser més informativa, segons les versemblances.

Maximitzar la reducció d'incertesa té un efecte secundari que convé conèixer: les preguntes més informatives tendeixen a ser aquelles amb una probabilitat d'encert al voltant del 50 %, de manera que l'alumne fallarà aproximadament la meitat del que respongui durant el diagnòstic. És l'òptim des del punt de vista informatiu, però pot tenir cost motivacional amb alumnat jove o amb dificultats. Una decisió pedagògica raonable —i opcional— és obrir amb una pregunta assequible o intercalar-ne alguna d'èxit probable, acceptant una petita pèrdua d'eficiència a canvi de sostenir la confiança de l'alumne.

15. Mecanismes de recuperació

Quan la selecció de preguntes es fa per màxim guany d'informació esperada, la recuperació queda en gran part integrada al mateix mecanisme bayesià: si l'alumne inicialment falla però després respon correctament preguntes més difícils, el posterior es desplaça automàticament i el sistema selecciona preguntes més exigents. No sol ser necessària una lògica de recuperació explícita, però la recuperació completa no està garantida si les preguntes estan mal calibrades, si n'hi ha poques de disponibles en algun nivell, o si l'alumne respon a l'atzar.

Els mecanismes de recuperació explícits només són necessaris quan la selecció de preguntes es basa en regles simples de dificultat (pujar rere encert, baixar rere fallada), perquè en aquest cas el sistema pot quedar bloquejat en un nivell incorrecte. Si utilitzeu selecció per guany d'informació, el risc de bloqueig es redueix molt, perquè el sistema reavalua el posterior després de cada resposta. Tot i així, hi pot haver bloquejos pràctics si el banc de preguntes és limitat, si les versemblances estan mal calibrades o si s'atura la prova massa aviat.

Pistes dins d'un ítem. Oferir una pista abans que l'alumne respongui canvia la probabilitat d'encert d'aquell ítem: un encert després d'una pista no és la mateixa evidència de domini que un encert sense ajuda. Per no sobreestimar el nivell, aquest encert no s'ha de registrar com a encert ple, sinó com a crèdit parcial amb una puntuació \(s < 1\), tant menor com més determinant hagi estat la pista (si la pista pràcticament dóna la resposta, l'evidència de domini és gairebé nul·la). Així es reutilitza la versemblança geomètrica del crèdit parcial (Fonaments §4.8) en lloc de tractar l'encert assistit com si fos espontani.

Reutilització d'ítems després de la correcció. El mateix raonament s'aplica a un ítem que es repeteix després que l'alumne hagi vist la seva correcció o explicació (inclòs el reintent immediat): l'encert posterior pot reflectir només memòria del feedback, no domini. Aquest encert no s'ha de registrar com a evidència plena: es tracta com a crèdit parcial amb \(s\) reduït —tant menor com més explícita fou l'explicació mostrada— o, si l'explicació va donar la resposta, s'exclou de l'actualització i compta només com a pràctica. La millor redundància local no és repetir el mateix ítem, sinó disposar de variants parametritzades del mateix tipus (mateix concepte, dificultat i format amb dades diferents): cada variant compta com a ítem nou i no arrossega la contaminació del feedback.

El que sí que es garanteix en qualsevol disseny:

• El sistema no tanca l'alumne de manera irreversible en una categoria inicial.
• Si l'alumne falla al principi però després mostra senyals consistents de domini, el posterior bayesià reflectirà aquest canvi.
• Si l'alumne comença amb encerts, però després mostra errors rellevants, el sistema revisarà la distribució de probabilitats.
• L'adaptació és dinàmica a cada resposta, no només a l'inici o al final.

16. Entropia de Shannon com a mesura d'incertesa

La seguretat raonable s'estima mitjançant l'entropia de Shannon aplicada a la distribució de probabilitats de les hipòtesis.

Quan les probabilitats estan molt repartides, l'entropia és alta i el sistema té molta incertesa. Quan una hipòtesi concentra la major part de la probabilitat, l'entropia és baixa i el sistema té més seguretat.

L'entropia serveix per a:

• decidir si convé continuar preguntant;
• comparar la incertesa abans i després d'una pregunta;
• seleccionar preguntes informatives;
• determinar si el diagnòstic final és ferm o provisional.

El llindar de parada s'ajusta al nombre d'hipòtesis considerades i al grau de precisió desitjat.

17. Criteris de finalització

El procés s'acaba quan hi ha una seguretat raonable sobre l'estat d'aprenentatge de l'alumne o quan arriba a un límit pràctic.

Els criteris possibles són:

• L'entropia cau per sota del llindar \(H_{\text{stop}}\) i la hipòtesi més probable supera \(p_{\min}\). Quan \(H_{\text{stop}}\) es deriva del mateix \(p_{\min}\), la segona condició ja implica la primera; comprovar-les totes dues és inofensiu. El control que sí aporta alguna cosa diferent és exigir una separació mínima respecte de la segona hipòtesi (\(P(H_{\text{guanyadora}}) - P(H_{\text{segona}}) \geq \Delta_{\min}\)), útil sobretot com a alternativa a un \(p_{\min}\) alt: només afegeix exigència si \(\Delta_{\min} > 2p_{\min} - 1\) (vegeu §9).
• S'assoleix un nombre màxim de preguntes. Convé distingir entre un màxim teòric i un màxim pràctic. El primer es pot estimar mitjançant cerca minimax sobre l'arbre de respostes possibles; el segon es fixa per usabilitat. En una demo o eina educativa breu es pot imposar, per exemple, un topall dur de 20 preguntes, mostrant resultat provisional si no s'ha convergit abans.
• La millor pregunta disponible deixa de ser útil. Si, després d'un nombre suficient de preguntes, el guany esperat d'informació de la millor candidata cau per sota d'un llindar mínim, convé aturar la sessió i tornar un diagnòstic provisional en comptes d'allargar-lo artificialment.
• Ja hem cobert els conceptes mínims previstos.
• No hi ha preguntes útils disponibles.
• El cost de continuar preguntant supera el guany pedagògic esperat.

En models multifactorials l'aturada s'avalua per factor: un factor queda decidit quan la seva probabilitat marginal surt de la zona indeterminada (per exemple, present si \(P(\text{error}) \geq 0{,}7\), absent si \(\leq 0{,}3\)) i compta amb la seva mostra mínima d'evidència. Es tanca quan tots els factors estan decidits, quan cap ítem aporta guany apreciable sobre els indeterminats o en assolir el màxim pràctic; els factors sense decidir es reporten com a indeterminats, no es forcen.

Si l'entropia final continua sent alta, el sistema ho indica clarament. En aquest cas, el resultat es presenta com una estimació provisional, no pas com una conclusió ferma.

18. Resultat final

El resultat final es presenta com a interpretació pedagògica.

El resultat inclou, quan escaigui:

• què sembla que domina l'alumne;
• quines dificultats mostra;
• quins errors conceptuals són probables;
• quines llacunes convé revisar;
• quin tipus de reforç es recomana;
• quina activitat d'avenç es podria proposar;
• quin grau de seguretat té l'estimació;
• si el diagnòstic és ferm o provisional.

No es limita a mostrar una puntuació o una etiqueta.

Quan dues hipòtesis acaben amb probabilitats properes, convé mostrar la distribució posterior completa (per exemple, mitjançant un diagrama de barres) en lloc d'una sola etiqueta guanyadora.

En el diagnòstic per factors d'error amb prior informatiu (\(P(\text{error}) \approx 0{,}2\)–\(0{,}3\)), l'absència arrenca ja a 0,7–0,8 sense cap evidència: un factor no s'ha de declarar absent només perquè la seva marginal superi el llindar de confiança. El resultat ha d'exigir a més la mostra mínima d'evidència d'aquest factor i distingir «absent confirmat» (amb evidència) de «sense evidència suficient» (el valor per defecte del prior).

Si el recurs combina una estimació ordinal de nivell amb factors d'error, totes dues són estimacions marginals paral·leles alimentades per la mateixa evidència, no troballes independents: el resultat final s'ha de presentar de manera coherent. Si el nivell estimat és alt i algun error queda «present», es presenta com un matís del nivell («domina X, tot i que persisteix l'error Y»), no com a conclusions contradictòries juxtaposades.

La finalitat del sistema és ajudar a prendre decisions educatives.

19. Adaptació al context docent

El concepte de recurs educatiu adaptatiu s'entén de manera àmplia. Un test adaptatiu només és un cas particular. La mateixa lògica es pot aplicar a explicacions, pràctiques, simuladors, itineraris, sistemes de pistes, activitats de reforç, ampliació o recomanació de recursos. El que és important és que el recurs prengui decisions pedagògiques a partir de les evidències que obté durant la interacció amb l'alumne.

La implementació concreta s'adapta al context educatiu que indiqui el docent.

Abans de dissenyar el sistema, convé recollir informació sobre:

• tema o unitat didàctica;
• edat o curs de l'alumnat;
• objectius d'aprenentatge;
• nombre de nivells o hipòtesis;
• tipus de preguntes o interaccions permeses;
• nombre aproximat de preguntes o passos;
• durada màxima;
• tipus de recurs adaptatiu desitjat (avaluació, pràctica, itinerari, tutorial, simulador, joc, recomanador, repàs…);
• finalitat principal (detectar nivell, identificar errors, reforçar, practicar, consolidar, ampliar, guiar, recomanar…);
• quin aspecte adapta el sistema (dificultat, tipus d'activitat, explicació, ajut, pistes, ritme, itinerari…);
• tipus de sortida esperada (diagnòstic, informe de progrés, ruta d'aprenentatge, proposta de següent activitat…);
• format desitjat;
• grau de precisió necessari.

El sistema adapta les decisions a aquest context.

20. Regles de disseny per a la IA

En síntesi, una implementació fidel a aquest protocol compleix aquestes regles:

1. No crea un recorregut rígid ni un test lineal.
2. No es limita a pujar la dificultat després d'un encert i baixar-la després d'una fallada.
3. Representa l'estat de l'alumne mitjançant probabilitats sobre hipòtesis.
4. Actualitza aquestes probabilitats de manera gradual.
5. Genera dinàmicament les versemblances, sense exigir al docent que introdueixi taules de probabilitats.
6. Té en compte la dificultat de cada pregunta.
7. Té en compte el nombre d'opcions de cada pregunta.
8. No fa servir preguntes obertes llargues si no es poden corregir automàticament.
9. Selecciona preguntes per utilitat pedagògica i informació esperada.
10. Usa entropia de Shannon per mesurar incertesa.
11. Permet recuperació davant d'estimacions inicials equivocades.
12. Presenta el resultat com a interpretació pedagògica.
13. Indica quan l'estimació és provisional.
14. S'adapta al context proporcionat pel docent.
15. Evita detalls tècnics innecessaris si l'usuari només necessita metodologia.

21. Abast i límits

Aquest protocol no substitueix el criteri docent.

El sistema pot ajudar a orientar decisions, però convé interpretar-ne els resultats amb prudència, especialment quan:

• hi ha poques preguntes;
• les preguntes no estan ben calibrades;
• les versemblances inicials procedeixen d'un model generador no calibrat amb dades reals;
• l'alumne respon a l'atzar;
• el context d'aplicació és molt limitat;
• l'entropia final continua sent alta.

El valor principal de l'enfocament és fer explícita la incertesa i adaptar l'activitat a les evidències disponibles.

Quan el resultat s'hagi d'usar per a decisions, s'ha d'acompanyar de comprovacions de fiabilitat que no requereixen dades empíriques: un índex d'ajust del patró de cada alumne (detecta respostes incoherents amb la dificultat, que farien el diagnòstic poc fiable encara que la confiança sigui alta) i una validació del disseny per simulació (estima, abans d'aplicar el test, en quina mesura el banc separa els nivells). Totes dues es descriuen en els fonaments matemàtics (§11.7–§11.8) i mesuren fiabilitat sota el model, no validesa empírica. Si la IA genera el recurs en un entorn amb execució, ha d'executar aquesta simulació; si treballa en un xat sense execució, ha de deixar preparada una utilitat de validació per a la vista docent/autora i marcar el resultat com a «validació pendent d'executar», sense afirmar que el banc ja està comprovat.

Aquesta validació sota el model no substitueix la revisió del contingut, que és l'únic que el docent pot validar millor que el sistema i no requereix conèixer la metodologia. En lliurar el recurs, la IA ha de generar una llista de comprovació breu en llenguatge docent: si els errors modelats són errors reals del seu alumnat, si alguna pregunta és massa fàcil o difícil per al curs, si les respostes correctes i les explicacions són correctes, si falta algun cas important del tema i si el llenguatge és adequat a l'edat. Si el docent assenyala un problema amb les seves paraules, la IA ajusta el banc o el model; no se li demana que revisi paràmetres ni probabilitats.

En recursos d'aprenentatge prolongat, com ara tutorials, pràctica adaptativa, reforç o ampliació, l'estat de l'alumne pot canviar durant la mateixa sessió. En aquests casos, el posterior no s'interpreta només com el diagnòstic d'un estat fix, sinó com una estimació dinàmica que pot combinar evidències recents, ajuts utilitzats, progrés observat i canvis en el rendiment. El mecanisme d'oblit exponencial descrit als fonaments matemàtics (§3.5) concreta aquesta idea fent que les respostes recents pesin més que les antigues.

22. Referències

El desenvolupament matemàtic del model (inferència bayesiana, entropia de Shannon, teoria de resposta a l'ítem) i la seva bibliografia completa són a l'explicació matemàtica detallada.

Com a fonament pedagògic específic d'aquest protocol:

• Black, P. & Wiliam, D. (1998). Assessment and Classroom Learning. Assessment in Education: Principles, Policy & Practice, 5(1), 7–74. [Avaluació formativa.]
• Bloom, B. S. (1968). Learning for Mastery. Evaluation Comment, 1(2). UCLA. [Aprenentatge per al domini; base dels mecanismes de reforç i recuperació.]

Com citar aquest document (APA 7): de Haro, J. J. (2026). Protocol per a sistemes educatius adaptatius bayesians (versió 2.0). https://jjdeharo.github.io/recursos-adaptativos/documentacion_ca.html

El desenvolupament formal dels mecanismes descrits en aquest protocol —inferència bayesiana, model IRT, entropia de Shannon i selecció adaptativa— es troba al document complementari Fonaments matemàtics, que inclou fórmules, demostracions i un exemple numèric complet.